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Qué es esperanza matemática

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Hace un par de semanas me ofrecieron boletos para los sorteos de dos universidades distintas; una universidad pública y otra privada. Eso de comprar boletos de lotería no es lo mío, simplemente no me gusta. Pero ayudar a las universidades a obtener recursos para becar alumnos sobresalientes es harina de un costal muy diferente.

Ahora, una cosa es que no me gusten los sorteos de lotería y otra muy diferente es determinar en cual comprar boleto ¡Digo! Si por ayudar voy a comprar, mínimo saber cuál boleto me ofrece más posibilidades de ganar.

¿Qué es esperanza matemática?

Resulta que existe algo que se llama «esperanza matemática» y consiste en determinar entre varios sorteos cual conviene. Sin embargo, debe quedar claro que los sorteos están hechos para que las universidades obtengan dinero, no para que yo me haga rico invirtiendo unos pocos pesos, así que los sorteos están hechos para que yo pierda. Y puntualizo, solo voy a decir un par de cosas muy someras sobre este tema, para mayores informes con el libro de estadística de su preferencia.

¿Qué necesitamos saber?

Para cada sorteo, el número total de boletos del sorteo, el valor del premio mayor, el costo del boleto y cuantos boletos voy a comprar.

Primero calculamos la probabilidad de ganar, los boletos que voy a comprar en el sorteo entre el número total de boletos. Si las cuentas salen como deben, el resultado es un cero con un punto decimal y varios ceros antes de que aparezca otro número.

Después calculamos la probabilidad de perder, al número uno le resto la probabilidad de ganar. Si todo sigue bien, el resultado es un cero con un punto y varios nueves antes de algún otro número.

Y ahora sí, la probabilidad matemática: multiplicamos la probabilidad de ganar por el costo del premio mayor y le restamos el resultado de multiplicar la probabilidad de perder por el costo de todos los boletos que voy a comprar.

Dicho en otras palabras, estoy comparando el total de boletos y el valor del premio mayor contra el número de boletos que compro y el dinero que pago. Lo que ofrece el sorteo contra lo mucho o poco que yo juego. Van los datos de los dos sorteos donde me han ofrecido boletos:

El Sorteo 1 tiene 28,000 boletos, el premio mayor es de $6,000,000, cada boleto cuesta $380 y voy a comprar un boleto.

Haciendo las cuentas, la probabilidad de ganar es: un boleto que voy a comprar entre 28000 boletos de todo el sorteo: 0.00000357, ósea, casi nada.

La probabilidad de perder: uno menos la probabilidad de ganar: 0.99999643.

La esperanza matemática: 0.00000357 por el premio mayor de $6,000,000 y a esto le resto el resultado de multiplicar 0.99999643 por los $380 que voy a desembolsar. El resultado es $358.57 negativo. Lo negativo lo explico más adelante.

Para el sorteo 2 se tienen 120,000 boletos con un premio mayor de $2,600,000, cada boleto cuesta $220 y voy a comprar un solo boleto.

Otra vez, la probabilidad de ganar es: un boleto que voy a comprar entre los 120,000 boletos del sorteo me da 0.00000833, o sea, casi nada pero más que en el sorteo 1.

La probabilidad de perder, uno menos la probabilidad de ganar: 0.99999167.

La esperanza matemática: 0.00000833 por $2,600,000 menos el resultado de 0.99999167 por $220, me da $198.33 negativo.

Ahora la interpretación de los numeritos: la esperanza matemática siempre va a ser negativa porque se trata de que la universidad gane, no el jugador. Dicho en otras palabras, en el sorteo 1 yo tengo la esperanza (matemáticamente demostrada) de que voy a perder $358.57 si juego durante muchos años o compro muchos boletos, o sea, en alguno de los muchos sorteos en los que participe o con los muchos boletos que compre voy a ganar algo, pero la final de todas las veces que participe voy a perder $358.57 y a ganar solo la diferencia entre esto y los $380 que cuesta cada boleto. Para el sorteo 2, tal y como se espera, también voy a perder pero van a ser $198.33 después de jugar muchas veces.

Viendo los resultados, como jugador conservador que no quiere arriesgar su dinero, a mí me conviene jugar en el sorteo 2 porque voy a perder menos. Obviamente alguien se va a sacar el premio mayor y por unos pocos pesos habrá obtenido varios millones, pero la esperanza matemática aplica para el promedio de los participantes no para los pocos que ganan algo.

Lo interesante de estas cuestas es que sirven para cualquier tipo de sorteo o juego de azar, para determinar entre sorteos diferentes cual me conviene más y no importa si son sorteos universitarios o juegos en casas de azar, teniendo los datos se puede comparar entre distintos juegos. Incluso se podría utilizar para comprar entre opciones de inversión, desde acciones y hasta inmuebles, si se pudiera calcular de forma fácil las probabilidades de ganar y perder. Como esto último no se puede hacer fácilmente, la esperanza matemática tal y como la describí aquí solo se aplica a juegos de azar.

18 comentarios en «Qué es esperanza matemática»

  1. Hola.
    Soy Ingeniero y aunque disfrute tu explicación, creo que para el 99.9% de la población que lee este post acabas de demostrar porque a la niñez le dan miedo las matemáticas, mucho rollo y enredo para saber si compras un boleto donde de entrada te sientes perdedor.

    El éxito de este blog es hacer las cosas simples , fáciles de entender y explicar como lo son las matemáticas en la vida diaria.

    Se que a nosotros no se nos da la facilidad en la comunicación pero deseo que So te de otra oportunidad para hacer un segundo blog donde puedes explicar tu punto pensando que lo va a entender tu sobrino de la primaria.

    Un Saludo.

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  2. Desde el nombre hubo confusion jajajajaja!! (ntc) Concuerdo con Eleazar.

    Por otra parte seria bueno comentar una liga a una pagina donde podamos ver una referencia de la informacion, donde se pueda comprender de mejor manera los numeros (algo interactivo, de ser posible :p), desafortunadamente no todos tenemos libros de estadistica consigo, asi que seria de mucha ayuda.

    Seria interesante tener una aplicacion que facilite los calculos y con algunos ejemplos facilitar las cosas!!

    Fue un post matematico el siguiente que venga habra que hacerlo mas digerible, Saludos!!

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  3. Acabo de trasladar estas cuentas a los sorteos de la Lotería Nacional y ya me quedó claro que lo único que compro cuando adquiero un cachito en Navidad son ILUSIONES, porque al final además hay que dividir todo entre 20 por eso de los vigésimos. Entonces mejor hay que pensar en los beneficiarios de los sorteos ¿nos interesa regalarles nuestro dinero? o ¿mejor compramos boletos para la reina de la primavera de la colonia?… tss.

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  4. Hola a Todos.

    Me gusto el post, y lo que puedo decir a favor del autor es que… No es escritor o editor!! vámos, los que podamos ayudar a los nuestros a entender mejor estos articulos, hágamoslo.

    Algo ya había leído con anterioridad y me parece muy bien que al menos a las personas les digan que tengan cuidado con estar buscando hacerse millonarios con solo unos pesos… Ahí les encargo a las personas que juegan religiosamente al Melate, no me imagino las probabilidades de ganar!!! (o perder).

    Saludos a todos.

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  5. Como siempre un honor recibir sus comentarios. Yo también creo que el post de Hluot está un poco más elevado de las finanzas tranquilas y digeribles a las que estamos acostumbrados acá. Pero me gusta la variedad y efectivamente Hluot no es escritor ni editor! (: y este es un espacio de la gente para la gente.
    Aurea: es muy interesante el fenómeno de las tandas! ya hice un post al respecto, pero creo que como bien apuntas, los comentarios en ese post ameritan otro! muchpisimas gracias por el link.
    Abrazo a todos!

    Responder
  6. Mmm… a mi no me cuadran los números. Hago el cálculo y no me dá lo mismo que a Hluot (por cierto, cómo se pronuncia ese nombre). Además, cómo puede ser posible que tengas más probabilidades de ganar en un sorteo de 120mil boletos que en uno de 28mil?

    Slds,

    M

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  7. Para quienes no somos fuertes en matemáticas:

    La Esperanza Matemática en este caso se refiere a la probabilidad que tiene el jugador de sacarse el premio si participara contínuamente en los sorteos de cada universidad. Lo que me parece muy ingenioso es el que lo haya valorado determinando un costo «probabilístico» (basado en la probabilidad y no en cuánto pagó por el boleto) de su participación para entonces participar en aquel que le salga, siempre según la ley de la probabilidad, mas barato.

    Felicito sinceramente a Hluot Firthunands por su esfuerzo de utilizar en situaciones al alcance de todos herramientas estadísticas no tan conocidas.

    ¡Exito!

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  8. A mí me resulta muy interesante el post de Hluot, y es que todo en la vida y en el universo son dos cosas: átomos y números, aunque creo que falta algo más para encontrar el punto exacto entre la probabilidad de ganar o perder.

    Es lamentable que a mucha gente le desagrade las matemáticas, pero no es por cuestiones de inteligencia, si no por mera pereza mental (tanto para explicar como para aprender), ha sido una «sana» costumbre en los mexicanos y que es precisamente la raíz de los miles de nuestros problemas financieros, económicos, morales, civiles, sociales, familiares, etc., etc… pero si en realidad nos enseñaran desde niños a saber, APRENDER para qué sirven las matemáticas, sin duda hablaríamos de otro mundo.

    Responder
  9. ¡Hola So, HF y lectores fieles (también a los fonofóbicos)!

    Al igual que a Manuel, las cuentas no me dan. En el primer caso me da una probabilidad de ganar de 0.0000357 y en el segundo de 0.00000833. Es decir, el primer sorteo me da una mayor probabilidad de ganar que el segundo.

    Números aparte, me agrada la entrada para entender que se tira el dinero al jugar las loterias. Además, ¿para qué apoyar universidades privadas que de por si ya cobran por sus servicios? Bueno, loqueras mias.

    ¡Saludos de la casa del vino de México!

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  10. En realidad no hace falta hacer cálculos matemáticos avanzados para entender que la probabilidad de ganar es ínfima comparada con el hecho de perder. Al final no se trata de esperanza matemática, el comprar un boleto para cualquier sorteo es más un asunto de «sentimiento» y «suerte».

    Regularmente el boleto se adquiere, en el caso señalado, porque te lo endilga el primo, el sobrino, el hermano o por el simple hecho de querer comprarlo. Me gustó el artículo, pero si parece una forma de racionalizar la pérdida.

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  11. Hola a todos:

    Primero quiero darles las gracias por leer el post y comentarlo, entre las personas que trabajamos con números y tenemos que dar a conocer los resultados al público en general tenemos un dicho:

    Por cada ecuación que pongas vas a perder a la mitad de tus posibles lectores. O sea, con dos te quedas solo.

    Sin embargo la esperanza, aunque sea matemática, es lo último que muere así que me animé a escribir esto.

    En segundo, la Fe de Erratas:

    El primer sorteo consta de 280,000 boletos. Falta un cero en el texto y esto genera el error que bien señalaron. Sin embargo el resto de los números estan correctos.

    Ahora procedo a tratar de explicar las cosas con otras palabras.

    El objetivo de la esperanza matemática no es calcular la probabilidad de ganar o perder porque todos los sorteos estan hechos para que la mayoría de los jugadores pierda.

    El objetivo es saber en cual sorteo pierdo menos. Es una herramienta para tomar decisiones en situaciones donde o pierdes o pierdes, así que se busca información para perder poco.

    Tampoco se trata de calcular la probabilidad de ganar porque esa sólo depende del sorteo; se trata de incluir el efecto de que yo compre uno o varios boletos. Es por esto que no se realizan analisis probabilisticos más detallados pero si se incluye cuanto dinero «invierto».

    Tal vez pueda explicar mejor la esperanza matemática con un ejemplo de ganar o ganar, poco ortodoxo para los matemáticos pero más tangible:

    Si tengo un automovil viejo que necesita reparación y estoy seguro de que no va a quedar al 100%, puedo pensar en comparar el arreglo del auto o la compra de uno nuevo. Pongamoslo en términos de esperanza matemática:

    Primer sorteo, comprar auto nuevo:
    Costo del boleto o del auto: $300,000
    Premio mayor: 8 años de servicio de taxi, $80 diarios de lunes a sabado (260 días): 8x80x260 = $166,400.00
    Probabilidad de ganar, o sea, de que el auto nuevo funcione 8 años, de que no tenga accidentes, de que no me lo roben, etc: 80%, 0.8 en decimales.
    Probabilidad de perder, el resto: 1 – 0.8 = 0.2 o 20%.

    Esperanza matemática: $73,120. Es decir, me ahorro $73,120 comprando el auto respecto a tomar taxis.

    Segundo sorteo, arreglar el auto viejo:
    Costo del boleto o del taller: $70,000
    Premio mayor: 4 años de servicio de taxi, $80 diarios de lunes a sabado (260 días): 8x80x260 = $83,200.00
    Probabilidad de ganar, o de que el auto arreglado funcione 4 años, de que no tenga accidentes, de que no necesite más arreglos, etc: 60%, 0.6 en decimales.
    Probabilidad de perder, el resto: 1 – 0.6 = 0.4 o 40%.

    Esperanza matemática: $21,920. Es decir, me ahorro $21,920 reparando el auto respecto a tomar taxis.

    Comparando entre «sorteos», es obvio que me combiene comprar un auto nuevo sobre todo si viene con un seguro contra accidentes y eleva la probabilidad de ganar.

    Este ejemplo no me gusta porque los números «me los seque de la manga» o los inventé. Simplemente no tengo nada para sustentar que el auto nuevo juega con un 80% de probabilidades de ganar y la compostura con 60% aunque suenen razonables. Tampoco se incluye el costo de las verificaciones o si el auto nuevo consume menos gasolina o si el auto viejo se menos deseable por los amantes de lo ajeno. Sin embargo y para fines de explicarme, va.

    Despues de leer los comentarios, llegué a la conclusión de que hubiera sido mejor publicar esto con la hoja de cálculo donde tengo los números y las formulas. Quien la quiera por favor mandeme un correo a:

    hluot.firthunands@gmail.com

    Y con gusto se la mando. Y si So acepta publicarla en este post, se la mando para que se pueda descargar directamente aquí.

    Espero no haber agrandado la confusión.

    Por ultimo y sobre mi nic…
    Hluot es mi primer nombre, en alemán del siglo IX.
    Firthunands es mi segundo nombre, en alemán del siglo XI.
    No sé como se pronuncian porque ni sé alemán ni mucho menos alemán antiguo, pero cansado de buscar una combinación de letras de mi nombre para abrir una cuenta de correo se me ocurrio probar, funcionó y me gustó.

    Responder
  12. Hola! Primero que gana felicidades a So por superar los 50 podcasts!

    En cuanto a los cálculos del primer sorteo tampoco me sale el mismo resultado, a mi me da -$379.98 y no los $358.57 , incluso con el ajuste que mencionan en los comentarios.

    Hluot ¿Cómo serían los cálculos si hubiera múltiples premios en el sorteo? Eso sería realmente una mejor aproximación al cálculo que intentó Leonora con la Lotería Nacional.

    Muy interesante el post y no me parecen que sean conceptos muy difíciles, sólo que no son comunes y no estamos acostumbrados a ellos.

    Saludos a todos!
    @FerTorresMx

    Responder
  13. Estimado Hluot, resulta que usted es un genio en matemáticas!!!, que me diría si le digo a usted que le adivino el nombre, el primero, el segundo, el primer apellido y el segundo apellido, ahhh, y si me deja tiempo, le adivino , la nacionalidad, saludos

    Responder
  14. Hola a todos… cual es la esperanza matemática de este problema??
    Una cooperativa lanza una lotería de 1000 números y 10 premios, uno de $ 15000, dos de $ 7500, dos de $ 5000, dos de $ 2000 y tres de $ 1000

    Responder

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